Question

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊且a、b、c，且滿足bcosC=（3a-c）cosB，若

BC

•

BA

=4，b=4

2

，求邊a、c的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：利用正弦定理由bcosC=（3a-c）cosB，得sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，根據(jù)三角恒等變換可求得cosB=

1

3

．由

BC

•

BA

=4，b=4

2

，可得ac=12．①．再由余弦定理可得b²=32=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-

2

3

ac，與①聯(lián)立可解．

解答： 解：在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化為：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=

1

3

．
由

BC

•

BA

=4，b=4

2

，可得，a•c•cosB=4，即 ac=12．①．
再由余弦定理可得 b²=32=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-

2

3

ac，即 a²+c²=40，②．
由①②求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2．
綜上可得，a=2，c=6； 或者a=6，c=2．

點評：本題考查平面向量數(shù)量積運算、正弦定理余弦定理，考查方程思想，屬中檔題．