Question

已知函數f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），a、b∈（-1，1），且f（

a+b

1+ab

）=1，f（

a-b

1+ab

）=2，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：利用對數的運算法則，推導出f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，f（a）-f（b）=f（

a-b

1+ab

）=2，由此能求出結果．

解答： 解：∵f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）=lg

1+x

1-x

∴當a，b∈（-1，1）時，即1-a＞0，1-b＞0時，
f（a）+f（b）=[lg（1+a）-lg（1-a）]+[lg（1+b）-lg（1-b）]
=lg

1+a

1-a

+lg

1+b

1-b

=lg（

1+a

1-a

•

1+b

1-b

）
=lg

(1+a)(1+b)

(1-a)(1-b)

=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

∵f（

a+b

1+ab

）=lg（1+

a+b

1+ab

）-lg（1-

a+b

1+ab

）
=lg

1+a+b+ab

1+ab

-lg

1-a-b+ab

1+ab

=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

=1，
∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，
同理，得到f（a）-f（b）=f（

a-b

1+ab

）=2，
∴解得到f（a）=

3

2

，f（b）=-

1

2

．

點評：本題考查函數值的求法，解題時要認真審題，注意對數性質和對數運算法則的合理運用，