Question

【題目】各項均為正數的數列的前項和為，且滿足，，.各項均為正數的等比數列滿足，.

（1）求數列、的通項公式；

（2）若，數列的前項和.

①求；

②若對任意，，均有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②.

【解析】

（1）令可求得，再令，由得，兩式作差并結合已知條件得出，結合可知數列是等差數列，確定數列的首項和公差，可求得，并根據已知條件求出等比數列的首項和公比，由此可求得；

（2）①求得，利用錯位相減法可求得；

②由題意可得對任意的且恒成立，由參變量分離法得，構造數列，利用定義判斷數列的單調性，求得數列的最大項，由此可得出實數的取值范圍.

（1）對任意的，.

當時，，即，解得；

當時，由得，

兩式作差得，即，

又因為數列各項均為正數，則，所以，，

又，所以，數列是等差數列，且首項為，公差為，

.

設等比數列的公比為，則，，，.

；

（2）①，，

，

上述兩式作差得，

因此，；

②由題意可知對任意的且恒成立，

，即恒成立，

設，，

當時，，此時數列單調遞增，即；

當時，，此時數列單調遞減，即.

所以，數列中最大項為，.

因此，實數的取值范圍是.