Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ADEF為正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2．

(1)證明：平面ADEF⊥平面ABF．

(2)若平面ADEF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E為30°，三棱錐A-BDF的外接球的球心為O，求異面直線OC與DF所成角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）推導出AD⊥AF，AD⊥AB，AD⊥平面ABF，由此能證明平面ADEF⊥平面ABF；

（2）推導出BC⊥平面ABF，BC⊥BF，再由BC⊥AB，得二面角A﹣BC﹣E的平面角為∠ABF＝30°，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線OC與DF所成角的余弦值．

(1)證明：因為四邊形ADEF為正方形，

所以AD⊥AF，

又AD⊥AB，AB∩AF＝A，

所以AD⊥平面ABF，

因為，

所以平面ADEF⊥平面ABF．

(2)解：因為平面ADEF⊥平面ABCD，AD⊥AF，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，

所以AF⊥平面ABCD．

由(1)知AD⊥平面ABF，又AD∥BC，則BC⊥平面ABF，

從而BC⊥BF，

又BC⊥AB，所以二面角A-BC-E的平面角為∠ABF＝30°．

以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示，

則．

因為三棱錐A-BDF的外接球的球心為O，所以O為線段BE的中點，

則O的坐標為，，

又，則，

故異面直線OC與DF所成角的余弦值為．

評分細則：

第(2)問中，若未證明AF⊥平面ABCD，直接建立空間直角坐標系，則扣1分．