Question

【題目】某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個問題，規(guī)則如下：

①每位參加者記分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；

②每回答一題，記分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當答完四題，累計分數(shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局；

③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束．

假設(shè)甲同學對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為、、、，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．

（1）求甲同學能進入下一輪的概率；

（2）用ξ表示甲同學本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望Εξ．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 分布列見解析，期望為

【解析】

（1）根據(jù)題意，列舉甲能進入下一輪的五種情況，由于每題答題結(jié)果相互獨立，根據(jù)相互對立事件和互斥事件的概率公式，得到結(jié)果；

（2）喲圖一可知答對一個題或答錯一個題都不能決定你甲的去留，所以最少答兩個題，隨機變量可能的取值為，由于每題的答題結(jié)構(gòu)都是相對獨立的，根據(jù)相互對立事件同時發(fā)生的概率得到結(jié)果．

設(shè)分別是第一、二、三、四個問題，用表示甲同學第個問題回答正確，用表示第個問題回答錯誤，則是對立事件，

由題意得，,

則，

（1）記“甲同學能進入下一輪”為事件Q，

則

．

（2）由題意，可知隨機變量可能的取值，

由于每題答題結(jié)果都是相對對立的，

因為,

,

	2	3	4

所以．