Question

【題目】設函數，其中.

（1）討論的極值點的個數；

（2）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

分析：（1）求函數的導數，再換元，令，對與分類討論①②③④，即可得出函數的極值的情況.

（2）由（1）可知：當時，函數在為增函數，又所以滿足條件；當時，因換元滿足題意需在此區間，即；最后得到的取值范圍.

詳解：

（Ⅰ），設，則，

當時，，函數在為增函數，無極值點.

當時，，

若時， ，函數在為增函數，無極值點.

若時，設的兩個不相等的正實數根，，且，

則

所以當，，單調遞增；當，單調遞減；

當， ，單調遞增.因此此時函數有兩個極值點；

同理當時的兩個不相等的實數根，，且，

當，，單調遞減，當，，單調遞增；

所以函數只有一個極值點.

綜上可知當時的無極值點；當時有一個極值點；當時，的有兩個極值點.

（Ⅱ）對于，

由（Ⅰ）知當時函數在上為增函數，由，所以成立.

若，設的兩個不相等的正實數根，，

且，，∴.則若，成立，則要求，

即解得.此時在為增函數，，成立

若當時

令，顯然不恒成立.

綜上所述，的取值范圍是.