Question

【題目】設或，，若是的充分條件．

（1）求證：函數的圖像總在直線的下方；

（2）是否存在實數，使得不等式對一切實數恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不存在.詳見解析

【解析】

（1）由是的充分條件可得，構造函數，判斷其是一個開口向下的二次函數，且圖象與軸無交點，從而可得出結論；

（2）由（1）可知恒成立，只需滿足恒成立即可，即恒成立，而函數是一個開口向下的二次函數，故不存在實數滿足條件．

（1）證：∵是的充分條件，∴，∴，

∵，

①當時，，∴，

②當時，，且，

∵，∴，

∴函數的圖象與軸無交點，即恒成立，∴，

綜上：函數的圖像總在直線的下方；

（2）解：由（1）可知恒成立，

∴只需滿足恒成立即可，

即要滿足恒成立，

而，則，則函數是一個開口向下的二次函數，不可能滿足恒成立，

∴不存在實數滿足題意．