Question

【題目】已知函數（其中，）.

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）若函數在區間上為增函數，求實數的取值范圍；

（3）求證：對于任意大于的正整數，都有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】【試題分析】(1)當時,求出切點的坐標和在切點處的斜率,利用點斜式寫出切線方程.(2)令導函數大于零,得到,即,當時,所以.(3) 當時，,利用導數求得函數在上遞增,令,得到,利用放縮法和累加法可證得原不等式成立.

【試題解析】

（1）∵，∴（）,

∴,∵,∴在點處的切線方程為.

（2）∵,∴（）,

∵在上為增函數，∴對任意恒成立.

∴對任意恒成立，

即對任意恒成立.∵時，，

∴，即所求正實數的取值范圍是.

（3）當時，，

當時，，故在上是增函數.

當時，令，則當時，，所以

，所以

所以即

所以即對于任意大于 則正整數 ，都有