Question

【題目】某企業在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%.

(1)求第n年初M的價值an的表達式；

(2)設An＝.若An大于80萬元，則M繼續使用，否則須在第n年初對M更新．證明：須在第9年初對M更新．

Answer 1

【答案】（1）an＝；（2）見解析.

【解析】(1)當n≤6時，數列是首項為120，公差為－10的等差數列，

∴＝120－10(n－1)＝130－10n；

當n≥6時，數列是以為首項，公比為的等比數列，

又＝70，

所以．

綜上可得第n年初，M的價值的表達式為．

(2)證明：設表示數列的前n項和，由等差及等比數列的求和公式，得

①當1≤n≤6時，，

∴；

∴數列是遞減數列，故，M可繼續使用．

②當n≥7時，由于，故

，

∴，

易知數列是遞減數列．

又，

所以需在第9年初對M更新．