【題目】已知向量 
， 
,函數
的圖象過點
，點
與其相鄰的最高點的距離為
.
（1）求
的單調遞增區間；
（2）計算
；
（3）設函數
，試討論函數
在區間
上的零點個數.
【答案】(1) 
.(2) 2018. (3)當
或
時，函數
在
上無零點；當
或
時，函數
在
上有一個零點；當
時，函數
在
有兩個零點.
【解析】試題分析：(1)根據平面向量數量積的坐標表示、二倍角公式和與輔助角公式可得
,根據
的圖象過點
，點
與其相鄰的最高點的距離為
，確定
，從而根據正弦函數的單調性可得結果;(2)根據特殊角的三角函數及周期性可得結果；（3）
,函數
在區間
上的零點個數，即為函數
的圖象與直線
在
上的交點個數.在同一直角坐標系內作出這兩個函數的圖象，幾何圖形可得結果.
試題解析：(1) 
向量
， 
， 
點
為函數
圖象上的一個最高點， 
點
與其相鄰的最高點的距離為
， 
， 
函數
圖象過點
， 
， 
， 
，由
，得
， 
的單調增區間是
.
(2) 由（1）知
的周期為
，且
， 
，而
.
(3) 
,函數
在區間
上的零點個數，即為函數
的圖象與直線
在
上的交點個數.在同一直角坐標系內作出這兩個函數的圖象如圖所示，
由圖象可知，①當
或
時，函數
的圖象與直線
在
上的無公共點，即函數
無零點；②當
與
時，函數
的圖象與直線
在
上有一個公共點，即函數
有一個零點；③當
時，函數
的圖象與直線
在
上有兩個公共點，即函數
有兩個零點，綜上，當
或
時，函數
在
上無零點；當
或
時，函數
在
上有一個零點；當
時，函數
在
有兩個零點.
寒假學與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
.
（Ⅰ）若
在
處的切線與直線
平行，求
的值；
（Ⅱ）討論函數的單調區間；
（Ⅲ）若函數
的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為
，證明
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(本題滿分15分)已知橢圓
：
過點
，離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設
分別為橢圓的左、右焦點，過
的直線
與橢圓交于不同兩點
，記
的內切圓的面積為
，求當取最大值時直線的方程，并求出最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商店為了更好地規劃某種商品進貨的量，該商店從某一年的銷售數據中，隨機抽取了
組數據作為研究對象，如下圖所示（
（噸）為該商品進貨量， 
（天）為銷售天數）：
（Ⅰ）根據上表數據在下列網格中繪制散點圖：
（Ⅱ）根據上表提供的數據，求出
關于
的線性回歸方程
；
（Ⅲ）根據（Ⅱ）中的計算結果，若該商店準備一次性進貨該商品
噸，預測需要銷售天數；
參考公式和數據： 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在對人們休閑方式的一次調查中，共調查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動．
（Ⅰ）根據以上數據建立一個2×2列聯表；
（Ⅱ）能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與休閑方式有關系？
附： 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸上，點
在直線
上，且滿足
（Ⅰ）當點
在
軸上移動時，求點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
做直線
與軌跡
交于
兩點，若在
軸上存在一點
，使得
是以點
為直角頂點的直角三角形，求直線
的斜率
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，以
為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）已知點
，和平面內一點
，過點
任作直線
與橢圓
相交于
兩點，設直線
的斜率分別為
，
，試求
滿足的關系式.
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