Question

【題目】已知點(diǎn)及圓：.

（1）若直線過(guò)點(diǎn)且與圓心的距離為1，求直線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，求以為直徑的圓的方程；

（3）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）分兩種情況：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的斜率k，由P的坐標(biāo)和設(shè)出的k寫(xiě)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線的距離d，讓d等于1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P寫(xiě)出直線的方程即可，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得到直線的方程，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證符合題意；

（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長(zhǎng)的一半及半徑，利用勾股定理求出項(xiàng)心距d，發(fā)現(xiàn)與d相等，得到P為MN的中點(diǎn)，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為的一半，根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可；

（3）關(guān)于是否存在類(lèi)問(wèn)題，假設(shè)是存在的，根據(jù)條件，列出等量關(guān)系式，求得結(jié)果即可.

（1）圓C的圓心為，半徑，

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為, 則方程為.

依題意得 ，

解得. 所以直線的方程為，即 .

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿足條件.

（2）由于，

而弦心距，

所以 .

所以為的中點(diǎn).

故以為直徑的圓的方程為.

（3）直線即,代入圓的方程，消去，整理得

．

由于直線交圓于兩點(diǎn)，

故，

解得． 則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

若存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦,則圓心必在上．

所以的斜率，

而，所以．

由于，

故不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦．