Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在上存在單調增區間，求實數的取值范圍；

（2）若，證明：對于，總有

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求出的導數，將其轉化為在區間內存在區間使得即在上能成立，根據函數的最小值即可確定的范圍；（2）問題轉化為證明，在上恒成立，構造函數，，求出的導數，判斷出函數的單調性，從而證出結論．

（1）由題，

因為函數在存在單調增區間，

故在區間內存在區間使得成立，

即能成立，

即在上能成立，

而在的最小值是，

故；

（2）若，則，

，

而，

又因為，所以，

要證原不等式成立，只要證，

只要證，

只要證，在上恒成立，

首先構造函數，，

因為，

可得，在時，，即在上是減函數，

在時， ，即在上是增函數，

所以，在上，，所以，

所以，，等號成立當且僅當時，

其次構造函數，，

因為，

可見時，，即在上是減函數，

時， ，即在上是增函數，

所以在上，，所以，

所以，，等號成立當且僅當時．

綜上所述，，

因為取等條件并不一致，

所以，在上恒成立，

所以，總有成立．