Question

【題目】設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且橢圓過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)、，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的最大值，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)，且，解得答案.

（2）設(shè)切線方程為，根據(jù)垂直得到，故，得到，，考慮和和斜率不存在三種情況，分別計(jì)算得到答案.

（1）根據(jù)題意：，且，解得，故標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）假設(shè)存在圓滿足，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為.

，故.

，即.

，

.

，即，故，即.

，故，故.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)對稱性不妨取，，

滿足.

綜上所述：存在使題目條件成立.

.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)等號成立；

當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知；

綜上所述：的最大值為.