Question

【題目】如圖，在以為頂點的五面體中，面是邊長為3的菱形.

（1）求證：；

（2）若，，，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由已知條件中的菱形得到線線平行，利用線面平行的判定定理得到線面平行，再由線面平行的性質定理得到線線平行；

（2）建立空間直角坐標系，求出法向量的夾角，得出二面角的大小.

（1）因為是菱形，

所以，

又因為平面，

平面，

所以平面，

又因為平面，

平面平面，

所以.

（2）在中，

根據余弦定理，

因為，，，

所以，

則，

所以，

即.

因為，，

所以.

又因為，

平面,

所以平面.

設中點為，連結，,

因為是菱形，，

所以是等邊三角形，

所以，

所以.

作于點，

則，

在中，，

所以.

如圖，以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系.

則，，，

，.

設平面的一個法向量為，

因為，

所以，

即，

取，解得，，

此時.

由圖可知，平面的一個法向量為，

則，

因為二面角是銳角，所以二面角的余弦值是.