Question

【題目】已知冪函數滿足．

（1）求函數的解析式；

（2）若函數，是否存在實數使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（3）若函數，是否存在實數，使函數在上的值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在使得的最小值為0；（3）．

【解析】試題分析：（1）由為冪函數可得，解得或，經驗證。（2）令，則，設，則將問題轉化為函數在上的最小值是否為0的問題。根據對稱軸與區間的關系求解，可得滿足題意。（3）由題意得，且在定義域內為單調遞減函數，若存在實數a,b滿足題意，則可得，由②-①消去n得，從而，將③代入②得，再令，由得，所以將問題轉化為求在

上的取值范圍，根據二次函數的知識可得。

試題解析：

（1）∵是冪函數，

∴，

解得或，

當時， ，不滿足，

當時， ，滿足，

∴

∴。

（2）令，則，

設，

①當，即時，由題意得

，

解得；

②當，即時，由題意得

，

解得（舍去）；

③當，即時，由題意得

，

解得（舍去）

綜上存在使得的最小值為0。

（3）由題意得，

∴在定義域內為單調遞減函數；

若存在實數，使函數在上的值域為，

則，

由②-①，得

，

∴，

將③代入②得，

，

令，

∵，

∴，

又，故在區間上單調遞減，

∴。

∴存在實數，使函數在上的值域為且實數的取值范圍為

．