Question

【題目】設拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸上，過點的直線交拋物線于兩點，線段的長度為8， 的中點到軸的距離為3.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設直線在軸上的截距為6，且拋物線交于兩點，連結并延長交拋物線的準線于點，當直線恰與拋物線相切時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）; （2）.

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件，直接運用拋物線的定義分析求解；（2）依據題設建立直線方程，再與拋物線方程聯立，借助坐標之間的關系，建立方程求解：

（1）設所求拋物線方程為，

則，又，所以.

即該拋物線的標準方程為.

（2）由題意，直線的斜率存在，不妨設直線， ，

由消得，即（*）

拋物線在點處的切線方程為，

令，得，所以，

而三點共線，所以及，得.

即，

整理得，

將（*）式代入上式得，即，

所以所求直線的方程為.