Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上且過點P，離心率是.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)直線l過點E (－1,0)且與橢圓C交于A，B兩點，若|EA|＝2|EB|，求直線l的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0.

(1)設橢圓C的標準方程為＝1(a＞b＞0)．由已知可得，
解得a²＝4，b²＝1.
故橢圓C的標準方程為＋y²＝1.
(2)由已知，若直線l的斜率不存在，則過點E(－1,0)的直線l的方程為x＝－1，此時令A，B，顯然|EA|＝2|EB|不成立．
若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y＝k(x＋1)．則，
整理得(4k²＋1)x²＋8k²x＋4k²－4＝0.
由Δ＝(8k²)²－4(4k²＋1)(4k²－4)＝48k²＋16＞0.
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
故x₁＋x₂＝－，①x₁x₂＝.②
因為|EA|＝2|EB|，即x₁＋2x₂＝－3.③
①②③聯立解得k＝±.
所以直線l的方程為x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0