Question

給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為F(,0),其短軸上的一個端點到F的距離為.
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”的方程.
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過動點P作直線l₁,l₂使得l₁,l₂與橢圓C都只有一個交點,且l₁,l₂分別交其“準圓”于點M,N.
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時,求l₁,l₂的方程;
②求證:|MN|為定值.

Answer 1

(1) +y²=1   x²+y²=4
(2) ①y=x+2,y=-x+2  ②見解析

(1)∵c=,a=,∴b=1.
∴橢圓方程為+y²=1,
準圓方程為x²+y²=4.
(2)①因為準圓x²+y²=4與y軸正半軸的交點為P(0,2),
設過點P(0,2)且與橢圓有一個公共點的直線為y=kx+2,所以由消去y,
得(1+3k²)x²+12kx+9=0.
因為橢圓與y=kx+2只有一個公共點,
所以Δ=144k²-4×9(1+3k²)=0,解得k=±1.
所以l₁,l₂的方程分別為y=x+2,y=-x+2.
②(ⅰ)當l₁,l₂中有一條無斜率時,不妨設l₁無斜率,
因為l₁與橢圓只有一個公共點,
則其方程為x=±.
當l₁方程為x=時,
此時l₁與準圓交于點(,1),(,-1),
此時經過點(,1)(或(,-1))且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1(或y=-1),
即l₂為y=1(或y=-1),顯然直線l₁,l₂垂直;
同理可證l₁方程為x=-時,直線l₁,l₂垂直.
(ⅱ)當l₁,l₂都有斜率時,設點P(x₀,y₀),
其中+=4.
設經過點P(x₀,y₀)與橢圓只有一個公共點的直線為y=t(x-x₀)+y₀,
則消去y,
得(1+3t²)x²+6t(y₀-tx₀)x+3(y₀-tx₀)²-3=0.
由Δ=0化簡整理得:(3-)t²+2x₀y₀t+1-=0.
因為+=4,
所以有(3-)t²+2x₀y₀t+(-3)=0.
設l₁,l₂的斜率分別為t₁,t₂,
因為l₁,l₂與橢圓只有一個公共點,
所以t₁,t₂滿足上述方程(3-)t²+2x₀y₀t+(-3)=0,
所以t₁·t₂=-1,即l₁,l₂垂直.
綜合(ⅰ)(ⅱ)知:因為l₁,l₂經過點P(x₀,y₀),
又分別交其準圓于點M,N,且l₁,l₂垂直,
所以線段MN為準圓x²+y²=4的直徑,
所以|MN|=4.