Question

已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點為F(0,1).

(1)求拋物線C的方程;
(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點,若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.

Answer 1

(1) x²=4y   (2)

解:(1)由題意可設拋物線C的方程為x²=2py(p>0),則
=1,所以拋物線C的方程為x²=4y.
(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),直線AB的方程為y=kx+1.
由消去y,整理得x²-4kx-4=0,
所以x₁+x₂=4k,x₁x₂=-4.從而|x₁-x₂|=4.
由
解得點M的橫坐標x_M===.
同理,點N的橫坐標x_N=.
所以|MN|=|x_M-x_N|=
=8
=.
令4k-3=t,t≠0,則k=.
當t>0時,|MN|=2>2.
當t<0時,|MN|=2≥.
綜上所述,當t=-,即k=-時,|MN|的最小值是.