Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G：x²＋y²＝(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N.

(1)若橢圓C經過兩點、，求橢圓C的方程；
(2)當c為定值時，求證：直線MN經過一定點E，并求·的值(O是坐標原點)；
(3)若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.

Answer 1

（1）＝1.（2）見解析（3）

(1)解：令橢圓mx²＋ny²＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即橢圓方程為＝1.
(2)證明：直線AB：＝1，設點P(x₀，y₀)，則OP的中點為，所以點O、M、P、N所在的圓的方程為＝，化簡為x²－x₀x＋y²－y₀y＝0，與圓x²＋y²＝作差，即直線MN：x₀x＋y₀y＝.

因為點P(x₀，y₀)在直線AB上，得＝1，
所以x₀＋＝0，即 
得x＝－，y＝，故定點E ，·＝＝.
(3)解：由直線AB與圓G：x²＋y²＝ (c是橢圓的焦半距)相離，則＞，即4a²b²＞c²(a²＋b²)，4a²(a²－c²)＞c²(2a²－c²)，得e⁴－6e²＋4＞0.因為0＜e＜1，所以0＜e²＜3－　①.連結ON、OM、OP，若存在點P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a²b²≤c²(a²＋b²)，a²(a²－c²)≤c²(2a²－c²)，得e⁴－3e²＋1≤0.因為0＜e＜1，所以≤e²＜1，②.由①②得≤e²＜3－，所以