Question

已知點在橢圓:上，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的右焦點，且，其中為坐標原點.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，設是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若, 求直線的方程;
（3）作直線與橢圓:交于不同的兩點,,其中點的坐標為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數的值.

Answer 1

（1）. (2) 或； （3）或.

試題分析：（1）由題意知,在中, 可得.
設為圓的半徑,為橢圓的半焦距
由建立方程組，,解得:.
根據點在橢圓上,有結合,解得.
(2)由題意知直線的斜率存在,故設直線方程為
設,利用 ,求得代人橢圓方程求 .
（3）根據: , 設.
根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
由韋達定理得,則,
所以線段的中點坐標為
注意討論，的情況，確定的表達式，求得實數的值.
方法比較明確，運算繁瑣些；分類討論是易錯之處.
試題解析：（1）由題意知,在中,
由得:
設為圓的半徑,為橢圓的半焦距
因為所以
又,解得:,則點的坐標為      2分
因為點在橢圓：上,所以有
又,解得:
所求橢圓的方程為.        4分
(2)由(1)知橢圓的方程為 
由題意知直線的斜率存在,故設其斜率為,
則其方程為
設,由于,所以有
         7分
又是橢圓上的一點,則
解得
所以直線的方程為或         9分
（3）由題意知: :
由, 設
根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
由韋達定理得,則,
所以線段的中點坐標為
(1)當時, 則有,線段垂直平分線為軸
于是
由,解得:         11分
(2) 當時, 則線段垂直平分線的方程為
因為點是線段垂直平分線的一點
令,得:
于是
由,解得:
代入,解得:
綜上, 滿足條件的實數的值為或.        14分