Question

已知橢圓，過點且離心率為.
求橢圓的方程；
已知是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接角橢圓于點，在軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓經過直線和直線的交點，若存在，求出點，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，

試題分析：（1）由離心率，所以①，再把點代入橢圓中得：②，最后③，由①②③三式求出、，即可寫出橢圓方程；
假設存在，設，則直線的方程， 可得， 并設定點，由題目得：，直線與直線斜率之積為-1，即 ，化簡得 ，又因為 ，得，可求出，繼而得到定點點坐標.
（1）由題意得
 得 ，                   
所以，橢圓方程為      
（2）設，則直線的方程，  
可得，
設定點，，
，即 ，
        
又因為， 所以
進而求得，故定點為.