Question

【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．首屆中國國際進口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結構可以抽象為空間圖形陽馬．如圖所示，在陽馬中，底面．

（1）若，斜梁與底面所成角為，求立柱的長（精確到）；

（2）證明：四面體為鱉臑；

（3）若，，，為線段上一個動點，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）推導出側棱在平面上的射影是，從而是側棱與平面所成角，，從而求得立柱的長.

（2）四邊形是長方形，從而是直角三角形，由此得出，從而三角形是直角三角形，由平面，得是直角三角形，由此能證明四面體為鱉臑.

（3）利用轉化法求出異面直線與的距離，即可求得三角形面積的最小值.

（1）因為側棱平面，所以側棱在底面上的射影是，所以是側棱與平面所成角，所以，在中，，所以，即，，所以.

（2）證明：由題意知四邊形是長方形，所以三角形是直角三角形.

由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.因為，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以四面體為鱉臑.

（3）與是兩異面直線，，所以平面，則兩異面直線與的距離等于到平面的距離，也即到平面的距離，等于到直線的距離.因為，所以，則到的距離為.

所以線段上的動點到的最小距離為.則三角形面積的最小值為.