Question

【題目】已知正方形ABCD，E，F分別為AB，CD的中點，將△ADE沿DE折起，使△ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.

（1）證明：點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上；

（2）求角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）過點作平面，垂足為，連接，．證明在的垂直平分線上，則點在平面內的射影在直線上，

（2）以點為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點作平行于的向量為軸建立空間直角坐標系．設正方形的邊長為，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值．

（1）證明：過點A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連接GC，GD.

因為△ACD為等邊三角形，所以AC=AD，所以點G在CD的垂直平分線上.

又因為EF是CD的垂直平線，所以點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上.

另證：過點A作AG⊥EF，再證AG⊥CD，從而證得AG⊥平面BCDE，

即點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上

（2）解：以G為坐標原點，GA所在直線為z軸，GF所在直線為y軸，過點G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標系.

設正方形ABCD的邊長為2a，連接AF，

則 ，，

所以

設平面的一個法向量為，則，

令，得，又平面的一個法向量

所以，

.