Question

【題目】已知函數f（x）=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ +1（a＞0，ω＞0）的最大值為3，最小正周期為π．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間．
（2）若f（θ）= ，求sin（4θ+ ）的值．
（3）若存在區間[a，b]（a，b∈R，且a＜b）使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6個零點，在滿足上述條件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ +1=asin2ωx+ cos2ωx+1= sin（2ωx+φ）+1，

∵f（x）的最大值為3，最小正周期為π．

∴ +1=3， =π，a＞0，ω＞0．

解得a=1，ω=1．

∴f（x）=2sin +1．

令2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

解得 ≤x≤kπ+ ，

可得函數f（x）的單調增區間為 ，k∈Z．

（2）解：∵f（θ）= ，

∴2sin = ，即sin = ，

∴sin（4θ+ ）=sin =﹣cos = ﹣1=2× ﹣1=﹣ ．

（3）解：令f（x）=0，可得sin =﹣ ，∴x=k ，或x=kπ﹣ ，

故相鄰的零點之間的間隔依次為 ， ．

y=f（x）在[a，b]上至少含有6個零點，等價于b﹣a的最小值為 +3× =

【解析】（1）利用倍角公式與和差公式可得：f（x）= sin（2ωx+φ）+1，根據f（x）的最大值為3，最小正周期為π．可得 +1=3， =π，a＞0，ω＞0．即可得出．再利用正弦函數的單調性即可得出單調區間．（2）由f（θ）= ，可得sin = ，利用誘導公式與倍角公式即可得出．（3）令f（x）=0，可得sin =﹣ ，x=k ，或x=kπ﹣ ，故相鄰的零點之間的間隔依次為 ， ．即可得出．