Question

四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，SA=AD=DC=2，AB=1．
（Ⅰ）求證：平面SAD⊥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角S-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）M為SC中點，在四邊形ABCD所在的平面內是否存在一點N，使得MN⊥平面SBD，若存在，求三角形ADN的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得CD⊥AD，CD⊥SA，從而CD⊥平面SAD，由此能證明平面SAD⊥平面SCD．
（Ⅱ）以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出二面角S-BC-D的余弦值．
（Ⅲ）假設存在點N滿足條件，設N（x，y，0），利用向量法求出x=0，y=-1，所以存在點N，由此能求出三角形ADN的面積．

解答： （Ⅰ）證明：由已知條件得CD⊥AD，
又SA⊥平面ABCD，∴CD⊥SA，
∵SA∩AD=A，∴CD⊥平面SAD
∵CD?平面SCD，
∴平面SAD⊥平面SCD．
（Ⅱ）解：由已知條件知AD，AB，AS兩兩垂直，
以A為原點建立空間直角坐標系，A-xyz，
A（0，0，0），B（0，1，0），C（-2，2，0），D（-2，0，0），S（0，0，2），M（-1，1，1），
依條件知

AS

=（0，0，2）為平面ABCD的一個法向量，
設

n

=(x，y，z)是平面SBC的法向量，
∵

BS

=(0，-1，2)，

BC

=(-2，1，0)，
由

n • BS =-y+2z=0 n • BC =-2x+y=0

，令x=1，得

n

=（1，2，1），
設二面角S-BC-D的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

AS

，

n

＞|=|

2

2 6

|=

6

6

，
∴二面角S-BC-D的余弦值為

6

6

．
（Ⅲ）解：假設存在點N滿足條件，設N（x，y，0），
∴

MN

=（x+1，y-1，-1），

BD

=(-2，-2，0)，

BS

=(0，-1，2)，
∴

MN • BD =-2(x+1)-(y-1)=0 MN • BS =0+(y-1)-2=0

，
解得x=0，y=-1，∴存在點N，滿足條件
且S_△ADN=

1

2

×1×2=1．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．