Question

函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x，（x∈R）．
（1）求函數f（x）的最小正周期和對稱中心坐標；
（2）若A為銳角三角形ABC的最大角，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）將函數進行化簡，根據三角函數的圖象和性質即可求函數f（x）的最小正周期和對稱中心坐標；
（2）根據銳角三角形的性質，確定A的取值范圍，即可得到結論．

解答： 解：（1）由條件，f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
根據公式，最小正周期T=

2π

2

=π，
對稱中心橫坐標x應該滿足2x+

π

4

=kπ，即x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，此時y=1，
所以對稱中心為（

kπ

2

-

π

8

，1）．
（2）因為A為銳角三角形ABC的最大角，所以A∈[

π

3

，

π

2

），
所以2A+

π

4

∈[

11π

12

，

5π

4

），由單調性，f（A）∈（0，

3 +1

2

]．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數的關系式進行化簡是解決本題的關鍵．