Question

已知各項均大于1的數列{a_n}滿足：a1=

3

2

，an+1=

1

2

(an+

1

an

)（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數列{log5

an+1

an-1

}是等比數列；
（Ⅱ）求證：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜n+

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比關系的確定,數列的求和,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用等比數列的定義證明數列{log5

an+1

an-1

}是等比數列；
（Ⅱ）先確定a_n=

52n-1+1

52n-1-1

，可得

an

an+1

=1+

2

52n-1+5-2n-1

＜1+

2

5n

，兩邊求和，即可證明結論．

解答： 證明：（Ⅰ）由題意，

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)2，
∴log₅

an+1+1

an+1-1

=2log₅

an+1

an-1

，
∴數列{log5

an+1

an-1

}是等比數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知log₅

an+1

an-1

=2^n-1，
∴

an+1

an-1

=52n-1，
∴a_n=

52n-1+1

52n-1-1

．
∴

an

an+1

=1+

2

52n-1+5-2n-1

＜1+

2

5n

兩邊求和可得，不等式左邊＜n+

n

k=1

2

5k

=n+

1

2

（1-

1

5n

）＜n+

1

2

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．