Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

3

2

n（n+1），n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n滿足a_n=3log₂b_n，求數列{b_n}的前n項和為T_n；
（3）設c_n=

9

anan+1

，R_n是數列{c_n}的前n項和，求證：

1

2

≤R_n＜1（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用S_n=

3

2

n（n+1），再寫一式，兩式相減，可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{b_n}的通項，利用等比數列的求和公式求T_n；
（3）利用裂項法求和，確定其單調性，即可證明結論．

解答： （1）解：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

3

2

n(n+1)-

3

2

(n-1)n=3n，
當n=1時，a1=S1=

3

2

×1×2=3，也適合上式．
∴an=3n(n∈N*)
（2）解：∵a_n=3log₂b_n，
∴bn=2

an

3

=2n，
∴Tn=2+22+23+…+2n=

2(2n-1)

2-1

=2n+1-2，
（3）證明：cn=

9

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Rn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1，
又Rn=1-

1

n+1

在n∈N*單調遞增，
∴Rn≥R1=

1

2

．
故

1

2

≤Rn＜1(n∈N*)．

點評：熟練掌握等差數列的通項公式、前n項和公式，正確運用裂項法是解題的關鍵．