Question

【題目】已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證：當時， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線斜率，求得的值，求出的極值點，列出參數(shù)的不等式組，即可求得實數(shù)的取值范圍；（2）當時， ，整理得，可設(shè)， ，證明的最小值大于的最大值.

試題解析：（1）因為，所以，得，所以，

得，得， （）．

當時， ， 為增函數(shù)；當時， ， 為減函數(shù)，

所以函數(shù)僅當時，取得極值．

又函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以，所以，

故實數(shù)的取值范圍為．

（2）當時， ，即為，令，

則，

再令，則，

又因為，所以，所以在上是增函數(shù)，

又因為，

所以當時， ，所以在區(qū)間上是曾函數(shù)，

所以當時， ，故．

令，則．

因為，所以．

當時， ，

故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

又，所以當時， ，即得，即．