Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0），A（﹣a，0），B（0，﹣b），P為C上位于第一象限的動點，PA交y軸于點E，PB交x軸于點F.

（1）探究四邊形AEFB的面積是否為定值，說明理由；

（2）當△PEF的面積達到最大值時，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）面積為定值，詳見解析（2）

【解析】

（1）設，寫出直線方程求出坐標，計算面積可得定值；

（2）求出到直線的距離，由（1）知面積最大時，面積最大，從而只要最大即可，，由在橢圓上，利用基本不等式可得的最大值，從而得出結論．

（1）設P（x0，y0），四邊形AEFB的面積為定值，證明如下：

則PA的方程為，可得，故，

同理可得，，

從而四邊形AEFB的面積為ab，

所以四邊形AEFB的面積為ab.

（2）由題設知直線AB：bx+ay+ab＝0，

點P到AB的距離為d，則，

由（1）可知，當且僅當△ABP的面積最大時，△PEF的面積最大，所以當d取最大值時，△PEF的面積最大，

由于P在C上，故，可得，

所以，

當且僅當，即，時等號成立，

所以點P的坐標為.