Question

【題目】如圖，半球內有一內接正四棱錐S﹣ABCD，該四棱錐的體積為．

（1）求半球的半徑．

（2）求平面SAD與平面SBC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

設球的半徑為r,由S﹣ABCD 為正四棱錐,利用球的半徑表示棱錐的體積即可求解;

以O為原點，OA，OB，OS分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出平面SAD與平面SBC的法向量,則向量夾角的余弦值或其相反數即為所求.

（1）連接AC，BD交于點O，連接SO，

因為S﹣ABCD 為正四棱錐，所以SO⊥平面ABCD，

設球的半徑為r，則，，

所以，

，

解得r，即半球的半徑為；

（2）以O為原點，OA，OB，OS分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則A（r，0，0），B（0，r，0）C（﹣r，0，0），D（0，﹣r，0），S（0，0，r），

所以，，

設平面SAD的法向量為，

由，得，

設平面SBC的法向量，

由，得，

由，

因為平面SAD與平面SBC所成的二面角為銳角,

所以平面SAD與平面SBC所成的二面角余弦值為．