Question

已知

OA

=（λcosα，λsinα）（λ≠0），

OB

=（-sinβ，cosβ），其中O為坐標原點．
（1）若∠B=α-30°，求

OA

和

OB

的夾角；
（2）若|

AB

|≥|

OB

|，對于任意實數α、β都成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：（1）設向量

OA

與

OB

的夾角為θ，由

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cosθ=|λ|cosθ=λcosα（-sinβ）+（λsinα）cosβ=λsin（α-β）=λsin30°=

1

2

λ，可求夾角；
（2）|

AB

|²=|

OA

-

OB

|²=|

OA

|²-2

OA

•

OB

+|

OB

|²=λ²-2λsin（α-β）+1，不等式|

AB

|≥|

OB

|可化為λ²-2λsin（α-β）≥0對任意實數α、β都成立，則有

λ2-2λ≥0 λ2+2λ≥0 λ≠0

；

解答： （1）

OA

=（λcosα，λsinα），

OB

=（-sinβ，cosβ），
∴|

OA

|=|λ|，|

OB

|=1，
設向量

OA

與

OB

的夾角為θ，得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cosθ=|λ|cosθ，
又∵

OA

•

OB

=λcosα（-sinβ）+（λsinα）cosβ=λsin（α-β）=λsin30°=

1

2

λ，
∴cosθ=±

1

2

，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=60°或120°；
（2）|

AB

|²=|

OA

-

OB

|²=|

OA

|²-2

OA

•

OB

+|

OB

|²=λ²-2λsin（α-β）+1，
不等式|

AB

|≥|

OB

|可化為：λ²-2λsin（α-β）+1≥1，即λ²-2λsin（α-β）≥0對任意實數α、β都成立，
∵-1≤sin（α-β）≤1，
∴

λ2-2λ≥0 λ2+2λ≥0 λ≠0

，解得：λ≤-2或λ≥2，
∴實數λ的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：該題考查平面向量數量積運算、向量夾角公式，考查恒成立問題，考查不等式的求解等知識．