Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且經(jīng)過點（1，

3

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）O為坐標原點，直線y=kx+m與橢圓E相交于不同的兩點A、B，若橢圓E上存在點C，使得O為△ABC的重心，試探究△ABC的面積是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線AB方程為：y=kx=m，由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達定理、三角形重心坐標公式結合已知條件能證明△ABC的面積為定值

9

2

．

解答： 解：（1）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，
且經(jīng)過點（1，

3

2

），
∴

c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…..5 分
（2）設直線AB方程為：y=kx=m，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴

x1+x2= -8km 3+4k2 y1+y2= 6m 3+4k2

，
∵O為重心，

OC

=-（

OA

+

OB

）=（

8km

3+4k2

，

-6m

3+4k2

），…..8分
∵C點在橢圓E上，∴

( 8km 3+4k2 )2

4

+

( -6m 3+4k2 )2

3

=1，
解得4m²=4k²+3，…..10分
∵|AB|=

1+k2

•

( -8km 3+4k2 )2-4( 4m2-12 3+4k2 )

=

4 1+k2

3+4k2

•

12k2+9-3m2

，…12分
∴S△ABC=

1

2

|AB|d=

6|m|

3+4k2

12k2+9-3m2

=

9

2

．…14分
直線AB斜率不存在時，|AB|=2，d=3，S△ABC=

9

2

．
△ABC的面積為定值

9

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．