Question

已知雙曲線C的焦點F（

3

，0），雙曲線C上一點P到F的最短距離為

3

-

2

．
（1）求雙曲線的標準方程和漸近線方程；
（2）已知點M（0，1），設P是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點：設λ=

MP

•

MQ

，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意知c，a再根據b²=c²-a²，問題得以解決，再令雙曲線方程的右邊為0，化簡即可得到雙曲線的漸近線方程；
（2）用坐標表示向量，利用向量的數量積建立函數關系式，根據雙曲線的范圍，可求得λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵雙曲線C的焦點F（

3

，0），雙曲線C上一點P到F的最短距離為

3

-

2

．
可設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴c=

3

，c-a=

3

-

2

，
∴a=

2

，
∴b²=c²-a²=(

3

)2-(

2

)2=1，
則雙曲線的方程為：

x2

2

-y2=1，
令

x2

2

-y2=0，
則y=±

2

2

x，
即漸近線方程為y=±

2

2

x；
（2）設P的坐標為（x₀，y₀），則Q的坐標為（-x₀，-y₀），
∴λ=

MP

•

MQ

=（x₀，y₀-1）•（-x₀，-y₀-1）=-x02-y02+1=-

3

2

x02+2
∵|x0|≥

2

∴λ的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的幾何性質，考查向量的數量積，考查函數的值域，屬于中檔題．