Question

【題目】水是地球上寶貴的資源，由于介個比較便宜在很多不缺水的城市居民經常無節制的使用水資源造成嚴重的資源浪費．某市政府為了提倡低碳環保的生活理念鼓勵居民節約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數為3.6萬，試估計全市有多少居民？并說明理由；
（2）若該市政府擬采取分層抽樣的方法在用水量噸數為[1，1.5）和[1.5，2）之間選取7戶居民作為議價水費價格聽證會的代表，并決定會后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發“低碳環保家庭”獎，設X為用水量噸數在[1，1.5）中的獲獎的家庭數，Y為用水量噸數在[1.5，2）中的獲獎家庭數，記隨機變量Z=|X﹣Y|，求Z的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖，不低于3噸人數所占百分比為0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，

所以假設全市的人數為x（萬人），則有0.12x=3.6，解得x=30，

所以估計全市人數為30萬

（2）解：由概率統計相關知識，各組頻率之和的值為1，

因為頻率= ，

所以0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，得a=0.3，

用水量在[1，1.5]之間的戶數為100×0.3×0.5=15戶，

而用水量在[1.5，2]噸之間的戶數為100×0.4×0.5=20戶，

根據分層抽樣的方法，總共需要抽取7戶居民，

所以用水量在[1，1.5]之間應抽取的戶數為 戶，

而用水量在[1.5，2]噸之間的戶數為 戶．

據題意可知隨機變量Z的取值為0，2，4. ， ， ，

其分布列為：

Z	0	2	4
P

期望為：E（Z）=0× +2× + =

【解析】（1）由圖，不低于3噸人數所占百分比為0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，解出即可得出．（2）由概率統計相關知識，各組頻率之和的值為1，頻率= ，可得0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，得a．據題意可知隨機變量Z的取值為0，2，4．利用相互獨立、互斥事件的概率計算公式即可得出．
【考點精析】關于本題考查的頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列，需要了解頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能得出正確答案．