Question

【題目】如圖是一個(gè)路燈的平面設(shè)計(jì)示意圖，其中曲線段AOB可視為拋物線的一部分，坐標(biāo)原點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，燈桿BC可視為線段，其所在直線與曲線AOB所在的拋物線相切于點(diǎn)B.已知AB=2分米，直線軸，點(diǎn)C到直線AB的距離為8分米.燈桿BC部分的造價(jià)為10元/分米；若頂點(diǎn)O到直線AB的距離為t分米，則曲線段AOB部分的造價(jià)為元. 設(shè)直線BC的傾斜角為，以上兩部分的總造價(jià)為S元.

（1）①求t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

②求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求總造價(jià)S的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ① .②.

(2) 元.

【解析】分析：（1）①先設(shè)曲線段所在的拋物線的方程為，代入點(diǎn)B可得a的值，然后求出切線BC的斜率,轉(zhuǎn)化為傾斜角從建立t與的等式關(guān)系；②根據(jù)t與的關(guān)系得出曲線段部分的造價(jià)為元，然后求出BC段的造價(jià)，故兩段的造價(jià)之和；（2）由S的表達(dá)式根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最小值.

詳解：

（1）①設(shè)曲線段所在的拋物線的方程為，將代入得，故拋物線的方程為，求導(dǎo)得，故切線的斜率為，而直線的傾斜角為，故，t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為.

②因?yàn)?/span>，所以曲線段部分的造價(jià)為元，

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為8分米，直線的傾斜角為，故，部分的造價(jià)為，

得兩部分的總造價(jià)為，.

（2），

，

其中恒成立，令得，設(shè)且為銳角，

列表如下：

		0
		極小

故當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)，，，

故總造價(jià)S的最小值為元.