Question

【題目】已知函數，.

（1）問：能否為偶函數？請說明理由；

（2）總存在一個區間，當時，對任意的實數，方程無解，當時，存在實數，方程有解，求區間.

Answer 1

【答案】（1）不可能是偶函數；（2）.

【解析】分析：（1）根據偶函數定義，分類討論不同情況下是否存在偶函數的可能。

（2）討論在x取正數、負數兩種不同情況下的解集；再對每個情況下對a進行分類討論存在性成立的條件。

詳解：（1）定義域為關于原點對稱，

當時，為偶函數，

當時，，則，

則，

若，則，

若，則，

所以不可能恒等于零，

即不可能是偶函數.

（2）先考慮，

①當時，無解；

②當時，，只有當時，才有，

③當時，可化為，

所以，

因為不是上式的根，所以，

解得，

即當時，；

再考慮，

①當時，無解；

②當時，，只有當時，才有，

③當時，可化為，

所以，

因為不是上式的根，所以，

解得，

即當時，；

綜上，區間.