Question

【題目】設f（x）= ﹣ax﹣b（a、b∈R，e為自然對數的底數）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y+4=0，求a、b的值；
（2）當b=1時，若總存在負實數m，使得當x∈（m，0）時，f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ﹣a，∴f′（1）=1﹣a．

∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y+4=0，f（1）=﹣ ．

∴f′（1）=1﹣a=﹣ ，f（1）=e﹣e+1﹣a﹣b=﹣ ．

聯立解得：a= ，b=2．

（2）解：b=1時，x∈（m，0），m＜0，

f（x）＜0，可得：a＜ =g（x）．

g′（x）= ，

令h（x）=（x﹣2）ex+x+2，h（0）=0，

h′（x）=（x﹣1）ex+1，h′（0）=0，

h″（x）=xex＜0，

∴h′（x）＜h′（0）=0，

∴h（x）＜h（0）=0，

∴g′（x）＞0，

∴函數g（x）在x∈（m，0）（m＜0）上單調遞增，

∴g（x）＞g（m）= ．

∴a≤ （m＜0）．

∴實數a的取值范圍是

【解析】（1）f′（x）= ﹣a，根據曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y+4=0，可得f′（1）=﹣ ，f（1）=﹣ ．即可解出．（2）b=1時，x∈（m，0），m＜0，f（x）＜0，可得：a＜ =g（x）．利用導數研究函數g（x）的單調性與極小值即最小值即可得出．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．