Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分別為BC，AD的中點，點M在線段PD上．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求 的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵在平行四邊形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°， ∵AB=AC，∴AB⊥AC．
∵E，F分別為BC，AD的中點，∴EF∥AB，
∴EF⊥AC．
∵側面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
∴PA⊥底面ABCD．
又EF底面ABCD，
∴PA⊥EF．
又∵PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC兩兩垂直，
以A為原點，分別以AB，AC，AP為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標系如圖：
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），
∴ =（2，0，﹣2）， =（﹣2，2，﹣2）， ， =（1，1，﹣2）．
設 =λ（0≤λ≤1），則 =（﹣2λ，2λ，﹣2λ），
∴ = =（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），
顯然平面ABCD的一個法向量為 =（0，0，1）．
設平面PBC的法向量為 =（x，y，z），
則 ，即
令x=1，得 =（1，1，1）．
∴cos＜ ， ＞= = ，cos＜ ＞= = ．
∵直線ME與平面PBC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，
∴| |=| |，即 ，
解得 ，或 （舍）．
∴ ．

【解析】（I）由平行四邊形的性質可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性質得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；（II）以A為原點建立空間直角坐標系，設 =λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量 及 的坐標，根據線面角相等列方程解出λ．