Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）若是奇函數，且在區間上是增函數，求的值；

（Ⅱ）設，若在區間內有兩個不同的零點， ，求的取值范圍，并求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）的取值范圍是；

【解析】試題分析：（I）根據奇函數的性質可得 ，分和兩種情況，討論函數的單調性，使其滿足在區間上是增函數，從而得出的值；
（II）令 可得 ，作出 的函數圖象，根據圖象即可得出 的范圍，從而得出 的范圍，根據 得出 的關系，利用對數的運算性質化簡即可得出的值．

試題解析：（Ⅰ）因為是奇函數，所以，所以.

解得， ，或者.

當時， ，則 ，

但，顯然不符合要求

當時， ，對于任意的， ，設，

，

即，所以在區間上是增函數，滿足要求.

所以.

（Ⅱ）作出 的函數圖象，如圖所示， ，

令得，

設，則，

所以， .

當時， 是減函數， ，

當時， 是增函數， ，

所以，要使在內有兩個根

當且僅當，即，

所以的取值范圍是.

不妨設，則， ，

所以， ，

，所以.

所以 .

（或者， ，

所以，所以.）