Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右焦點，直線過點與橢圓交于、兩點，且的周長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在直線使的面積為？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，直線的方程為或.

【解析】

（1）根據離心率公式、橢圓定義，結合橢圓性質，解方程組即可求出橢圓方程；

（2）分兩種情況討論，當斜率不存在時，其面積為，不符題意，當斜率存在時，可設出直線方程，代入橢圓方程可得，結合韋達定理代入三角形面積公式，即可得解.

解：（1）由題意得 ∴

故橢圓的標準方程為.

（2）存在直線滿足題意，由（1）知右焦點，

當直線的斜率不存在時，此時，，，

，不符合題意，

故設直線的方程為，設，，

聯立方程組消去得.

∵，∴，，

∴，

∴，

∴，∴，∴或（舍去），

∴，故直線的方程為或.