Question

（2012•南寧模擬）已知在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且

b

cosB

=

a

cosA

，

CA

•

CB

=

sin2A+sin2B-sin2C

sinAsinB

，S_△ABC=

3

2

  求角A的值．

Answer 1

分析：由

b

cosB

=

a

cosA

，利用正弦定理，可得b=a，根據

CA

•

CB

=abcosC，

sin2A+sin2B-sin2C

sinAsinB

=

a2+b2-c2

ab

，可得ba=2，利用S_△ABC=

3

2

，即可求得角A的值．

解答：解：∵

b

cosB

=

a

cosA

，∴

sinB

cosB

=

sinA

cosA

，∴sin（B-A）=0
∵B-A∈（-π，π），∴B-A=0，∴b=a
∵

CA

•

CB

=

sin2A+sin2B-sin2C

sinAsinB

，
∴abcosC=

a2+b2-c2

ab

∴ab×

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-c2

ab

∴ba=2
∴a=b=

2

∵S_△ABC=

1

2

absin∠ACB=

3

2

∴sin∠ACB=

3

2

∴∠ACB=

π

3

或

2π

3

∴A=

π

3

或

π

6

．

點評：本題考查正弦、余弦定理的運用，考查向量知識，考查三角形面積的計算，正確運用正弦、余弦定理是關鍵．