Question

（2012•南寧模擬）如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE=1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為

6

4

．
（1）在線段DC上是否存在一點F，使得EF⊥面DBC，若存在，求線段DF的長度，若不存在，說明理由；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中點G，連接CG，則CG⊥AB，由DB⊥平面ABC，知DB⊥CG，所以CG⊥面ABDE，sin∠CDG=

CG

CD

=

6

4

，CG=

3

，故CD=2

2

，DB=

CD2-CB2

=2，由此能夠得到存在F為CD中點，DF=

2

時，使得EF⊥面DBC．
（Ⅱ）以B為原點，BA為x軸，BD為z軸，建立空間直角坐標系，則

BE

=（2，0，1），

EC

=(-1，

3

，-1)，

DE

=(2，0，-1)．求出平面BCE的法向量

n1

=(1，-

3

3

，-2)和平面CDE的法向量

n2

=(1，

3

，2)，由向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中點G，連接CG，則CG⊥AB，
∵DB⊥平面ABC，∴DB⊥CG，
所以CG⊥面ABDE，
所以sin∠CDG=

CG

CD

=

6

4

，CG=

3

，
故CD=2

2

，DB=

CD2-CB2

=2（3分）
取CD的中點為F，BC的中點為H，
因為FH∥-

1

2

BD，AE∥-

1

2

BD，
所以AEFH為平行四邊形，得EF∥AH，（5分）

AH⊥BC AH⊥BD

⇒AH⊥平面BCD
∴EF⊥面DBC
存在F為CD中點，DF=

2

時，使得EF⊥面DBC．（7分）
（Ⅱ）以B為原點，BA為x軸，BD為z軸，建立空間直角坐標系，
∵在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，
且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE=1，
CD與平面ABDE所成角的正弦值為

6

4

．
∴C(1，

3

，0)、B（0，0，0）、E（2，0，1）、D（0，0，2），
從而

BE

=（2，0，1），

EC

=(-1，

3

，-1)，

DE

=(2，0，-1)．（8分）
設

n1

=(x，y，z)為平面BCE的法向量，
則

n1 • BE =2x+z=0 n1 • EC =-x+ 3 y-z=0

⇒可以取

n1

=(1，-

3

3

，-2)（10分）
設

n2

=(x，y，z)為平面CDE的法向量，
則

n1 • DE =2x-z=0 n1 • EC =-x+ 3 y-z=0

⇒取

n2

=(1，

3

，2)（11分）
因此，cos＜

n1

•

n2

＞=

-4

8 6 3

=-

6

4

，（13分）
故二面角D-EC-B的余弦值為

6

4

（14分）

點評：本題考查在線段DC上是否存在一點F，使得EF⊥面DBC的判斷和求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．解題時要認真審題，注意合理地把空間問題轉化為平面問題．注意向量法的合理運用．