Question

【題目】已知橢圓C：的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為．

求橢圓C的方程；

如圖所示，該橢圓C的左、右焦點(diǎn)，作兩條平行的直線分別交橢圓于A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，試求平行四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 最大值為．

【解析】

由題意離心率可得，再結(jié)合面積求解a，b的值，則橢圓方程可求；

由知，，且直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，把平行四邊形ABCD的面積用三角形OAB的面積表示，然后利用換元法結(jié)合單調(diào)性求最值．

解：由題意，，則，即．

又，，．

橢圓C的方程為；

由知，，且直線AB的斜率不為0，

設(shè)直線AB的方程為，，，

聯(lián)立，消去x得：．

得，．

四邊形是平行四邊形，根據(jù)對(duì)稱性可知和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，

．

令，則，

．

，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時(shí)，平行四邊形ABCD面積的最大值為．