Question

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數據進行了研究，發現年宣傳費x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關關系，并對數據作了初步處理，得到下面的一些統計量的值.

(1)根據表中數據建立年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程；

(2)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為，根據(1)中的結果回答下列問題：

①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?

②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.

附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

參考數據：.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）①銷售量為，年利潤2.25；②該公司應該投入5萬元宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.

【解析】

（1）由題所給數據及參考公式，計算出回歸方程；

（2）將（1）所得回歸方程代入函數式得到年利潤與年宣傳費之間的函數關系，利用函數知識分析。

（3）年利潤與年宣傳費的比值為，求出的解析式，利用基本不等式求最值。

（1）由題意，，

（2）①由（1）得

當時

即當年宣傳費為10萬元時，年銷售量為，年利潤的預報值為。

②令年利潤與年宣傳費的比值為 則

當且僅當即時取最大值，故該公司應該投入5萬元宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.