Question

各項均為正數的等比數列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，單調增數列{b_n}的前n項和為S_n，b₁=2，且6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=

bn

an

（n∈N^*），求使得c_n＞1的所有n的值，并說明理由；
（3）證明{a_n}中任意三項不可能構成等差數列．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由a₂a₄=a₁²q⁴=q⁴=16，q²=4，知a_n=2^n-1，b₃=a₄=8．由6S_n=b_n²+3b_n+2，知（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=3（b_n+b_n-1），由此能夠求出b_n=3n-1．
（2）由b_n=3n-1，知c_n=

bn

an

=

3n-1

2n-1

，由此能求出滿足條件C_n＞1的所有n的值為1，2，3，4．
（3）假設{a_n}中存在三項p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a_p，a_q，a_r構成等差數列，所以2•2^q-1=2^p-1+2^r-1．2^q-p+1=1+2^r-p．因左邊為偶數，右邊為奇數，故假設不成立，即不存在任意三項能構成等差數列．

解答： （1）解：∵a₂a₄=a₁²q⁴=q⁴=16，q²=4，∵a_n＞0，∴q=2，∴a_n=2^n-1
∴b₃=a₄=8．∵6S_n=b_n²+3b_n+2　①
當n≥2時，6S_n-1=b_n-1²+3b_n-1+2 ②
①-②得6b_n=b_n²-b_n-1²+3b_n-3b_n-1即（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=3（b_n+b_n-1）
∵b_n＞0∴b_n-b_n-1=3，∴{b_n}是公差為3的等差數列．
當n=1時，6b₁=b₁²+3b₁+2，解得b₁=1或b₁=2，
當b₁=1時，b_n=3n-2，此時b₃=7，與b₃=8矛盾；當b₁=3時b_n=3n-1，此時此時b₃=8=a₄，∴b_n=3n-1．
（2）解：∵b_n=3n-1，∴c_n=

bn

an

=

3n-1

2n-1

，∴c₁=2＞1，c₂=

5

2

＞1，c₃=2＞1，c₄=

11

8

＞1，c₅=

7

8

＜1，
下面證明當n≥5時，c_n＜1
事實上，當n≥5時，c_n+1-c_n=

3n+2

2n

-

3n-1

2n-1

=

4-3n

2n

＜0
即c_n+1＜c_n，∵c₅=

7

8

＜1
∴當n≥5時，C_n＜1，
故滿足條件C_n＞1的所有n的值為1，2，3，4．
（3）證明：假設{a_n}中存在三項p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N^*）使a_p，a_q，a_r構成等差數列，
∴2a_q=a_p+a_r，即2•2^q-1=2^p-1+2^r-1．∴2^q-p+1=1+2^r-p．
∵左邊為偶數，右邊為奇數，矛盾．
∴假設不成立，故不存在任意三項能構成等差數列．

點評：題考查數列與不等式的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．