Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，橢圓C 與y 軸交于A，B 兩點，且|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓C 的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側．直線PA，PB與直線x=4分別交于M，N兩點．若以MN為直徑的圓與x 軸交于兩點E，F，求點P橫坐標的取值范圍及|EF|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得，2b=2，即b=1，
，得 ，
解得a2=4，
橢圓C的標準方程為 ；
（Ⅱ）方法一、設P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），
所以 ，直線PA的方程為 ，
同理：直線PB的方程為 ，
直線PA與直線x=4的交點為 ，
直線PB與直線x=4的交點為 ，
線段MN的中點 ，
所以圓的方程為 ，
令y=0，則 ，
因為 ，所以 ，
所以 ，
設交點坐標（x1 ， 0），（x2 ， 0），可得x1=4+ ，x2=4﹣ ，
因為這個圓與x軸相交，該方程有兩個不同的實數解，
所以 ，解得 ．
則 （ ）
所以當x0=2時，該圓被x軸截得的弦長為最大值為2．
方法二：設P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），
所以 ，直線PA的方程為 ，
同理：直線PB的方程為 ，
直線PA與直線x=4的交點為 ，
直線PB與直線x=4的交點為 ，
若以MN為直徑的圓與x軸相交，
則 ，
即 ，
即 ．
因為 ，所以 ，
代入得到 ，解得 ．
該圓的直徑為 ，
圓心到x軸的距離為 ，
該圓在x軸上截得的弦長為 ；
所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2．
方法三：設P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），
所以 ，直線PA的方程為 ，
同理：直線PB的方程為 ，
直線PA與直線x=4的交點為 ，
直線PB與直線x=4的交點為 ，
所以 ，
圓心到x軸的距離為 ，
若該圓與x軸相交，則 ，
即 ，
因為 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
該圓在x軸上截得的弦長為 ；
所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2
【解析】（Ⅰ）由題意可得，2b=2，再由橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，解得a=2，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）方法一、設P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），求出直線PA，PB的方程，與直線x=4的交點M，N，可得MN的中點，圓的方程，令y=0，求得與x軸的交點坐標，運用弦長公式，結合 ．即可得到所求最大值；
方法二、設P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），求出直線PA，PB的方程，與直線x=4的交點M，N，以MN為直徑的圓與x軸相交，可得yMyN＜0，求得 ，再由弦長公式，可得最大值；
方法三、設P（x0 ， y0）（0＜x0≤2），A（0，1），B（0，﹣1），求出直線PA，PB的方程，與直線x=4的交點M，N，可得MN的長度，由直線和圓相交，可得 ，再由弦長公式，可得最大值．