Question

【題目】如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD丄平面CBD，若AM丄平面ABD，且AM=
（1）求證：DM⊥平面ABC；
（2）求二面角C﹣BM﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：法一（幾何法）：如圖，取BD中點N，連結AN，CN，MN，

∵將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD丄平面CBD，

∴AN⊥BD，CN⊥BD，

∵平面ABD丄平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，CN平面CBD，CN⊥BD，

∴CN⊥平面ABD，又AM⊥平面ABD，∴CN∥AM，

又CN=AM=AN= ，∴AMCN是正方形，∴AC⊥MN，

由BD⊥AN，BD⊥CN，AN∩CN=N，得BD⊥平面AMCN，∴BD⊥AC，

又BD∩MN=N，∴AC⊥平面BDM，∴AC⊥MD，

∵AM⊥平面ABD，∴AM⊥AB，

又AB⊥AD，AM∩AD=A，∴AB⊥平面AMD，

∴AB⊥DM，又AC⊥DM，AB∩AC=A，

∴DM⊥平面ABC．

法二（向量法）：如圖，取BD中點N，連結AN，CN，MN，

∵將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD丄平面CBD，

∴AN⊥BD，CN⊥BD，

∵平面ABD丄平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，CN平面CBD，CN⊥BD，

∴CN⊥平面ABD，

以A為原點，AB、AD、AM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1， ），D（0，2，0），M（0，0， ），

=（2，0，0）， =（1，1， ）， =（0，﹣2， ），

∵ =0， =0，

∴DM⊥AB，DM⊥AC，

又AB∩AC=A，∴DM⊥平面ABC

（2）解：（2）B（2，0，0），C（1，1， ），D（0，2，0），M（0，0， ），

∴ =（﹣2，0， ）， =（﹣1，1， ）， =（﹣2，2，0），

設平面CBM的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1， ），

設平面DBM的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=1，得 =（1，1， ），

∴cos＜ ＞= = ，

設二面角C﹣BM﹣D的平面角為θ，由圖知θ為銳角，

∴cosθ= ，則θ= ，

∴二面角C﹣BM﹣D的大小為 ．

【解析】（1）法一（幾何法）：取BD中點N，連結AN，CN，MN，推導出AN⊥BD，CN⊥BD，從而CN⊥平面ABD，再求出AM⊥平面ABD，從而CN∥AM，推導出AC⊥MN，BD⊥AC，AC⊥MD，從而AM⊥平面ABD，進而AM⊥AB，再由AB⊥AD，得AB⊥平面AMD，由此能證明DM⊥平面ABC．法二（向量法）取BD中點N，連結AN，CN，MN，以A為原點，AB、AD、AM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明DM⊥平面ABC．（2）取BD中點N，連結AN，CN，MN，以A為原點，AB、AD、AM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面CBM的法向量和平面DBM的法向量，利用向量法能求出二面角C﹣BM﹣D的大小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．