Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，過橢圓 右焦點的直線 交橢圓C于M，N兩點，P為M，N的中點，且直線OP的斜率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設另一直線l與橢圓C交于A，B兩點，原點O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，直線 與x軸交點F（ ，0），則c= ， 設M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2），P（xP ， yP），2xP=x1+x2 ， 2yP=y1+y2 ，
直線OP的斜率k= ，
則： ，
整理得： + =0，
則 =﹣ =﹣ ，
由直線MN的斜率k= =﹣ ×3=﹣1，整理得：a2=3b2=3（a2﹣c2），
又c= ，解得：a2=3，b2=1，
∴橢圓C的方程為： ；
（Ⅱ）由題意，①當直線l的斜率不存在時，O到直線l的距離為 ，
將x=± 代入橢圓方程，解得：y=± ，則丨AB丨=2丨y丨= ；
當直線斜率為O時，將y=± ，代入橢圓方程，解得：x=± ，
則丨AB丨=2丨x丨= ；
②當直線l的斜率存在時且不為0時，
設直線l的方程為：y=kx+m（k，m∈R且k≠0），
由題意，原點0到直線l的距離為 ，
故 ，則m2= （k2+1）．
設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
則： ，（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=，
由題意△＞0，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）﹣4x1x2]=（1+k2）[（﹣ ）2﹣4× ]，
=（1+k2） ，
= ，
= =3+ ，
=3+ ≤3+ =4，
當且僅當9k2= ，即k=± 時等號成立，丨AB丨max=2，
綜上所述，當直線l的斜率k=± 時，
即丨AB丨max=2時，△AOB面積的最大值，
最大值為S= ×丨AB丨max× = ，
△AOB面積的最大值 ．
【解析】（Ⅰ）當y=0時，求得焦點F坐標，M，N代入橢圓方程，作差，利用中點坐標公式，化簡求得MN的直線方程，即可求得a和b的關系，求得橢圓方程；（Ⅱ）由題意可知：當丨AB丨最大時，△AOB面積的最大值，將直線AB代入橢圓方程，利用韋達定理弦長公式及基本不等式的性質，即可求得丨AB丨的最大值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．